陰関数定理の本質は, ((x, y), z)-空間における２変数関数z＝f(x, y)の零点の集合(これは(x, y)-空間の曲線や曲面など, 超曲面)が局所的に関数のグラフとなる, すなわち或る点の或る近傍でy(またはx)について解けるためにはその点でのfのy(またはx)についての或る種の微分が0でないことが必要, ということである.
例えば, 実２変数実数値関数z＝f(x, y)のグラフが曲面であることは良く知られているが, このグラフがxy-平面と交わると, その交わりは曲線になり, xの関数またはyの関数で一部または全体を描くことができる.
実3変数実数値関数の零点の集合が曲面になるのは, 例えば
g(x, y, z)＝z−√[1−(x^2＋y^2)]
の零点全体の集合が球面になることから納得できるだろう.
ベクトル場Xの点pにおける指数の定義式
γ_p(X)＝(1/2π)∫_C dθ
は複素解析における留数の定義式
Res(f, a)＝(1/2πi)∫_C f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理
Σ_i γ_(p_i)(X)＝χ(S)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz＝2πi Σ_i Res(f, a_i)
に良く似ていると感じた.
曲面Mの点pの近傍で定義されたベクトル場Xの点pにおける指数の別の定義式
(γ_p)(X)
＝(1/2π)lim_(Γ→p)∫_Γ g(dξ, ξ^⊥)
も複素解析における留数の定義式
Res(f, a)＝(1/2πi)∫_Γ f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理(定理4.8.3)
Σ_i γ_(p_i)(X)＝χ(M)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz＝2πi Σ_i Res(f, a_i)
によく似ていると感じた.
参考文献:
Xを集合, μ*をXの冪集合における外測度とするときA, B⊆Xに対して
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A)
が, Aがμ*-可測で測度有限かつA⊆Bなら(Bがμ*-可測でなくとも)成り立つのではないか？と考えたが, 証明ができた.
実際, 結論から言うと, 北田均「新訂版 数理解析学概論」383ページ目や, 谷島賢二「新版 ルベーグ積分と関数解析」67ページ目と96ページ目で暗黙の了解でこれを用いていると考えられる記述がある.
[証明]
Aがμ*-可測であるから∀C⊆X,
μ*(C)＝μ*(C∩A)＋μ*(C＼A).
C＝Bとし, A⊆BならばB∩A＝Aであることを使うと
μ*(B)＝μ*(A)＋μ*(B＼A)
よってAがμ*-可測で測度有限ならば両辺からμ*(A)を引いて
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A).
これはどんな本にも書かれていないが, これに気づくことができた. 簡単なことだが, 自明ではない.
[別証] (6行目からは或る人からの指摘による)
μ*の劣加法性より,
μ*((B＼A)∪A)≦μ*(B＼A)＋μ*(A)
(直観的には, 一般にB＼Aの被覆とAの被覆は交わるから)
すなわち
μ*(B＼A)≧μ*(B)−μ*(A) (1)
ところで, μ*の劣加法性より, Aがμ*-可測であることは
∀C⊆X, μ*(C)≧μ*(C∩A)＋μ*(C＼A)
と同値である. ここでC＝Bとすると
μ*(B＼A)≦μ*(B)−μ*(A) (2)
「(1)かつ(2)」が成り立つから
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A).
平易に言うと, 図形Aが図形Bに含まれるとき, 図形Bから図形Aを取り除いた図形の大きさはBの大きさからAの大きさを引いた物である, ということである.
訂正:故に(^t)A'＝A'
位相空間M上の加法群の層とは, 位相空間Sと写像π:S→Mから成る組(S, π, M)または単にSで,
πは局所位相同型写像であり
各点p∈Mに対しS_p＝(π^(−1))(p)⊆Sは加法群であり,
加法はSの位相に関して或る意味で連続である
を満たす物である. ここで, πが局所位相同型写像であるとは, 各点s∈Sに対してsの近傍V⊆Sとπ(s)の近傍U⊆Mが存在してπのVへの制限が位相同型写像, すなわちπ|V:V→Uが位相同型写像となることである.
S_pを層Sの茎, πを射影という.
他の代数的構造の入った層の定義も同様である.
(S, π, M)を層, U⊆Mを開集合とする. 連続写像σ:U→Sは∀x∈U, π(σ(x))＝xを満たすときU上のSの切断, σ(U)は切断面と呼ばれる.
代数的構造の入った位相空間M上の層Sは局所同相写像π:S→XによるSの点sの近傍V(s)の像π(V(s))をπ^(−1)|V(s)で重ねて作られたシートV(s)の集まり{V(s)|s∈Ｓ}とみなせる. 切断σ:U→Sは適当なSの点の近傍Vに対するシートσ(U)⊆Vを取り出す操作とみなせる. σとπの合成がU上の恒等写像なのは, シートσ(U)を取り出してまた入れたら, もとに戻るという取り決めだと解釈できる. 茎S_p＝(π^(−1))(p)は射影πの「逆写像」による, 層SのシートたちV(π^(−1)(p))にわたる線状の影と言える.
層は多変数複素解析や複素幾何でも多々用いられる.
順序集合と体の定義と
発想は前々からあったが, きちんと