新訂版序文の人のブログ

画像はスマホでは拡大できます。記事の題名の下にあるタグをクリックまたはタップすると記事を細かく分類したページに移動します。

微分幾何における「留数」と「留数定理」

f:id:PDEM:20220121085005j:plain

ベクトル場Xの点pにおける指数の定義式
γ_p(X)=(1/2π)∫_C dθ
複素解析における留数の定義式
Res(f, a)=(1/2πi)∫_C f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理
Σ_i γ_(p_i)(X)=χ(S)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz=2πi Σ_i Res(f, a_i)
に良く似ていると感じた.

曲面Mの点pの近傍で定義されたベクトル場Xの点pにおける指数の別の定義式
(γ_p)(X)
=(1/2π)lim_(Γ→p)∫_Γ g(dξ, ξ^⊥)
複素解析における留数の定義式
Res(f, a)=(1/2πi)∫_Γ f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理(定理4.8.3)
Σ_i γ_(p_i)(X)=χ(M)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz=2πi Σ_i Res(f, a_i)

によく似ていると感じた.