序文とあとがきの人のブログ

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微分幾何における「留数」と「留数定理」

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ベクトル場Xの点pにおける指数の定義式
γ_p(X)
(1/2π)∫_C dθ
複素解析における留数の定義式
Res(f, a)
(1/2πi)∫_C f(z)dz
オイラー-ポアンカレの定理
Σ_i γ_(p_i)(X)
χ(S)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz
2πi Σ_i Res(f, a_i)
に良く似ていると感じた.

曲面Mの点pの近傍で定義されたベクトル場Xの点pにおける指数の別の定義式
(γ_p)(X)
(1/2π)lim_(Γ→p)∫_Γ g(dξ, ξ^)
複素解析における留数の定義式
Res(f, a)
(1/2πi)∫_Γ f(z)dz
オイラー-ポアンカレの定理(定理4.8.3)
Σ_i γ_(p_i)(X)
χ(M)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz
2πi Σ_i Res(f, a_i)

によく似ていると感じた.


参考文献:

千葉「ベクトル解析からの幾何学入門」(現代数学社)

荻上多様体」(共立出版)