新訂版序文の人のブログ

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ディリクレ関数について

最近有理数無理数の話をしたので以前から語りたかった関数を紹介する.


そもそも集合Aから集合Bへの関数とは, Aの任意の要素をBの或るひとつの要素に対応させる物なので次のような関数も考えられる.


関数 f:R→{0, 1}

f(x)1 (x有理数のとき)

f(x)0 (x無理数のとき)

と定義する. fはディリクレ関数と呼ばれる.


fのグラフは描けない任意の有理数に対してそれにいくらでも近い無理数が存在し同時に任意の無理数に対してそれにいくらでも近い有理数が存在するからであるつまりfは至る所で(定義域全体で)グラフが不連続な関数であるしかし「殆んど至る所で0」であるから描くとしたらほぼx軸みたいになるだろう.


集合Sの殆んど至る所でpであるとは或る零集合(空集合とは限らない)Nが存在して, SからNを取り除いた差集合S−Nの全ての要素に対してpが成り立つことを言う零集合は, S上の測度μについてμ(N)0となるNとして定義される測度とは集合の要素の個数長さ面積体積表面積曲線の長さ確率を抽象化または一般化した物である今はSR, μR上のルベーグ測度である.


関数fは「殆んど至る所で0」だから殆んど至る所で連続関数としての定数関数0に等しいしかしfは至る所で不連続である「殆んど至る所で連続である」と「殆んど至る所で連続関数に等しい」は同値ではない.


fは定義域を有界区間例えば[0, 1]に制限すると上積分と下積分が考えられるが積分1, 積分0であるからリーマン積分可能ではない区間での上限が1, 下限が0だならである一方ルベーグ積分は可能でその積分値は0であるそれはμルベーグ測度とするとき, μ(Q)0により

∫_[0, 1] f dμ

1×μ([0, 1]Q) + 0×μ([0, 1]−Q)

1×0 + 0×1

0

一般に,「殆んど至る所で0」の(可測)関数のルベーグ積分の値は完全に0に等しい.


fは全ての有理数を周期とする周期関数でもあるそれは任意の有理数qに対して, x有理数ならばx+q有理数, x無理数ならばx+q無理数だから

f(x+q)f(x)

Rの各点xで成り立つからである.


最後に, fは至る所で不連続ながらも連続関数列の二重極限で表されることを述べよう.

(g_(m, n))(x)(cos(m!πx))^2n

とすると関数g_(m, n):R→[0, 1]は連続であるしかし,

lim_(m→∞) lim_(n→∞) g_(m, n)

は不連続でありディリクレ関数fに等しいこれは, x有理数 p/q のとき例えばm>|q|とすればm!πxπの整数倍になり, cosでそれを写せば±1となりそれを2n乗すれば1であり一方x無理数ならばどのようなmを取ってもm!πxπの整数倍にならずその時は

| cos(m!πx) | < 1

であるから, cos(m!πx)2n乗の極限は0になるからである.


このような関数もあることを知って頂きたくてまた語らせて頂いた.


ちなみにルベーグ積分を学ぶと解析的整数論や表現論という解析学以外の分野でもかなりの恩恵があるようである.