f(x)をディリクレ関数(xが有理数のときf(x)＝1, xが無理数のときf(x)＝0)とするとき, x＝πでf(x)が微分可能なら
lim_(h→0)(f(π+h)−f(π))/h
が存在する. f(x)がx＝πで微分可能なら, hをどんなやり方で0に近づけても, この極限値が存在しなければならない. しかし特定の近づけ方でhを0に近づけると, この極限は存在しないことを示そう.
(f(π+h)−f(π))/h
は, πが無理数だからhが有理数ならπ+hは無理数ゆえ, f(π+h)−f(π)＝0になるから,
(f(π+h)−f(π))/h＝0.
hが無理数でh＝k−π(kは有理数)の形をしているとき,
(f(π+h)−f(π))/h
＝(f(k)−0)/(k−π)
＝1/(k−π)
これはk>πかつk→πのとき∞になりk<πかつk→πのとき−∞になる. (πにいくらでも近い有理数が存在するので)
同様にして数直線の任意の点においても微分不可能であることが証明できる. それには
任意の実数a<bに対して
a<r<b
となる有理数rが存在する,
任意の実数a<bに対して
a<s<b
となる無理数sが存在する
ことを使えばよい.
一般に微分可能な関数は連続だから, f(x)は不連続ゆえ微分不可能だが, きちんと微分の定義に当てはめて考えた. 不連続性を示すのも簡単である.
|f(x)−f(π)|
は, xが無理数かつ|x−π|が小さくなれば, いくらでも小さくできるが, xが有理数かつ|x−π|が小さくなれば, 上の誤差は1より小さくならない.
