今日を最後にAmazonレビューのコメント機能が廃止されるので一部を書き換えた上で転記：
超関数Eと台がコンパクトな超関数fの合成積 E＊f∈Ｄ' は任意のφ∈Ｄに対して
〈E＊f, φ〉＝〈E(x),〈f(y), φ(x＋y)〉〉
により定義されている.〈f(y), φ(x＋y)〉がxの関数として∈Ｄだからである(※4). なおφ∈Ｄの変数をxとするときφ(x)に超関数f∈Ｄ'を作用させる( φ→f(φ) ＝〈f, φ〉を求める)ときはfをf(x)と書き〈f, φ〉を〈f(x), φ(x)〉と書く. 局所可積分関数とその関数が一意に定める超関数の同一視により, E∈L^p(1≦p≦∞)かつf∈C^∞の台がコンパクトなときxをx−yに置き換え, ヘルダーの不等式とフビニの定理とルベーグ測度の平行移動不変性を用いると, 任意のφ∈Ｄに対して
∫(E＊f)(x)φ(x)dx＝∫(∫E(x−y)f(y)dy)φ(x)dx
が得られ変分法の基本補題よりE＊fは通常の合成積
(E＊f)(x)＝∫E(x−y)f(y)dyとなる.
E∈Ｄ' かつ f∈Ｄの場合はC^∞級関数として
(E＊f)(x) ＝〈E(y), f(x−y)〉
により定義されている. やはりE∈L^pであれば
(E＊f)(x)＝∫E(y)f(x−y)dy＝∫E(x−y)f(y)dyとなる.
(※4)超関数fの台の定義を本文と異なる形で書くと, B(x, ε)を点x∈R^nのε近傍(中心x半径rの開球)として
supp(f)＝{ x | ∀ε＞0, ∃φ:試験関数, suppφ⊂B(x, ε) ⇒〈f, φ〉≠0 }.
(supp(f))^c＝{ x | ∃ε＞0, ∀φ:試験関数, suppφ⊂B(x, ε) ∧〈f, φ〉＝0 }なので
(supp(f))^c＝∪_(ε＞0){ x |∀φ:試験関数, suppφ⊂B(x, ε) ∧〈f, φ〉＝0 }
は「fが0となる点から成る最大の開集合」ゆえにfの台は「fが0でない点から成る最小の閉集合」である.
また〈f(y), φ(x＋y)〉を (f(y), φ(x＋y)) と書くことにすると
supp(f(y), φ(x＋y)) ⊆ ∪_(x∈supp(φ))(x＋supp(f))
でありsupp(f)とsupp(φ)はコンパクトだからsupp(f(y), φ(x＋y))もコンパクトである.
さらに任意の多重指数αに対して
(D^α)(f(y), φ(x＋y))＝(D^α)(f, φ(x＋・))＝(－1)^|α|(f, (D^α)φ(x＋・))
であるから(f(y), φ(x＋y))はxの関数として台がコンパクトなC^∞級関数である.
そしてfはD(R^n)の位相で連続な線型汎関数であるから
φ_n→φ in D(R^n) ⇒ (f(y), (φ_n)(x＋y))→(f(y), φ(x＋y)) in D(R^n)
ゆえに(f(y), φ(x＋y))＝(f, φ(x＋・))∈D(R^n)である.
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