例えば「5×4＝20」が正解の途中式があるとして,「5が4個分ある」と「5の4倍」は同義であり, 量aの4倍は4×aなのだから「4×5＝20」と答えても「5の4倍」の意味なら正解にしてよくないか?数学的には自然数全体の集合をNで書くとき掛け算:N×N∋(b, c)→bc∈Nと,b∈N…

陰関数定理の本質は, ((x, y), z)-空間における２変数関数z＝f(x, y)の零点の集合(これは(x, y)-空間の曲線や曲面など, 超曲面)が局所的に関数のグラフとなる, すなわち或る点の或る近傍でy(またはx)について解けるためにはその点でのfのy(またはx)について…

順序集合と体の定義と距離空間とε-論法と有理数体の完備化による実数体の構成を既知として, 物理量を表す数は実数またはその組(複素数など)が妥当であると論理的に結論づけられた.超実数など他のモデルが妥当である可能性は否定していないが少なくとも必然的…

ベクトル場Xの点pにおける指数の定義式γ_p(X)＝(1/2π)∫_C dθは複素解析における留数の定義式Res(f, a)＝(1/2πi)∫_C f(z)dzに, オイラー-ポアンカレの定理Σ_i γ_(p_i)(X)＝χ(S)は留数定理の式∫_γ f(z)dz＝2πi Σ_i Res(f, a_i)に良く似ていると感じた.曲面Mの…

発想は前々からあったが, きちんと言語化したのは12年ぶり.平行六面体の４本の対角線がそれぞれの中点で交わることの証明は高校数学では空間ベクトルを使うが, 初等幾何の問題なので初等幾何らしく初等幾何で示してみた.16歳の時に受けた数学検定準1級で出題…

Xを集合, μ*をXの冪集合における外測度とするときA, B⊆Xに対してμ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A)が, Aがμ*-可測で測度有限かつA⊆Bなら(Bがμ*-可測でなくとも)成り立つのではないか？と考えたが, 証明ができた.実際, 結論から言うと, 北田均「新訂版 数理解析学概論」3…