序文とあとがきの人のブログ

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数学教育

√2は実数か?

√2はもしかしたら虚数かもしれないという話ではなく, そもそも実数として存在するのかという話である. 「√2は無理数である」は冗長には「√2は実数であり, 特に√2は無理数である」と言える. では√2は本当に実数なのだろうか? 高校数学では, 有理数が, 有限小…

実数は実在するのか

この記事は, 以前公開していた高校数学の論理的問題点に関する記事を取り下げたのと, その後に考えたことがあるから書いた.数とは何か. これは難しい問である. まず, ありきたりの説明を少し改良してみよう.自然数とは, 1, 2, 3, 4, 5, …のような, 1にどんど…

数学を学ぶ全ての良き人々へ

最近, 数学を学ぶ人が増えている気がする. 数学の入門書も, 検定教科書や学習参考書とは書き方が違う物が多数出版されている. また私は, 私のAmazonレビューやブログ記事の勉強成果の記事が, 少しでも後継のためになればと思いながら書いているので, 今日は…

分配法則から広がる「負×負=正」の話

小学生に分配法則がなぜ成り立つのか直観的に教えた時の写真が見つかったのと, 最近Twitterで「負×負=正」について話題になっていて, 言いたいことがあるのでそれを書く. 以下では厳密に数を定義する話は省略しているため, 完全に厳密な証明, そして一般論…

算数の疑問と測度論

私は小学生の頃, 2つの図形を合わせて作られる図形の面積や体積は, それぞれの図形のそれぞれの面積や体積の合計だと習った.例えば, 2つの三角形でそれぞれの或る1辺が等しい物たちを, その辺を合わせて合体させると, 多角形ができるが, その多角形の面積…

小学校の掛け算の順序問題

例えば「5×4=20」が正解の途中式があるとして,「5が4個分ある」と「5の4倍」は同義であり, 量aの4倍は4×aなのだから「4×5=20」と答えても「5の4倍」の意味なら正解にしてよくないか?数学的には自然数全体の集合をNで書くとき掛け算:N×N∋(b, c)→bc∈Nと,b∈N…

「数」と「数字」の違い

よく, 一般人向けに素数とは1と自分自身以外で割り切れない数字や,偶数とは2で割り切れる数字奇数とは2で割り切れない数字という表現がされていることがある. しかしこれらは誤りである.数は概念である. 名前はまだない. そこで「0」「1」「2」「3」…など名…

0の0乗0^0=1と定めると便利なことについて

まず, 0^0が普通の意味では定められないことの説明として, 2変数関数f(x, y)=x^yが(x, y)=(0, 0)で不連続であることを挙げることがある. 確かに実際,lim_(x→0, y→0)0^y=0lim_(x→0, y→0)x^0=1となり, lim_(x→0, y→0)f(x, y)は存在しない. ゆえにf(0, 0)…

数学ではなぜ0で割ってはいけないのか(4月30日7:14 最終推敲)

実は, 数学でも0で割ることはある. ただし, 例外的かつ便宜上である.まず, あえてありきたりな説明をする. それには一理あるが問題点もあるからである.反比例の関数y=1/xを考えてみたい(グラフは下にある). まず関数とは何か考えよう. 座標平面(xy平面)を想…

分数の計算でなぜ通分が必要かなどの話

数学や数学を応用する場面では, 全体を「1」としたとき, 今考えている量が, それに対してどれくらいの割合(比率・濃度・密度, …)かを考えることが多々ある. 数学内部でも古典的確率論では必ず起こる事象の確率を1として, 個々の事象の確率を考える. 百分率で…

リーマン予想などの数学の重要な未解決問題『ミレニアム懸賞問題』の入門記事

ここでは, 数学のミレニアム懸賞問題のうち3つを解説する. リーマン予想 これは解析接続されたリーマンゼータ関数についての予想である. 解析接続とは簡単に言うと, 複素変数の関数としての微分可能性を保ちながら定義域を拡大することである. 実変数の関数…

2年前に書いた超関数超入門

厳密な定義より直観的なわかりやすさを優先したので多少論理に無理がある箇所があるのは許していただきたいが, 超関数(distribution)を連続線型汎関数と定義する理由をデルタ関数を用いて説明した. 超関数はデルタ関数とそれに関する演算の厳密化が発端なの…