解析学
https://amzn.asia/d/eGVP4Kg 私が新訂版序文に載っているので, 飽きるほど思い出深くなるほど読んだ. 容易に訂正できそうな誤植は以上の通り. 私が完成度を高めたい.
f(x)をディリクレ関数(xが有理数のときf(x)＝1, xが無理数のときf(x)＝0)とするとき, x＝πでf(x)が微分可能なら lim_(h→0)(f(π+h)−f(π))/h が存在する. f(x)がx＝πで微分可能なら, hをどんなやり方で0に近づけても, この極限値が存在しなければならない. し…
数学では, 話者や読者の論理に高い厳密性が問われる. しかし, 数学において, 話者または読者の少なくとも一方がそれを破り, 表現を見やすく伝わりやすくすることがある. 例えば https://mathlog.info/articles/3433でも私がしたように, 関数を, 純粋な意味で…
最近, 有理数や無理数の話をしたので, 以前から語りたかった関数を紹介する.そもそも, 集合Aから集合Bへの関数とは, Aの任意の要素をBの或るひとつの要素に対応させる物なので, 次のような関数も考えられる.関数 f:R→{0, 1}⊂R をf(x)＝1 (xが有理数のとき)f(…
数学の応用分野では, 時間変数tと空間変数xの多変数関数が現れる. t∈ℝ(つまりただの実変数)のこともあればt>0やt≥0のこともある. そして空間変数xとはユークリッド空間ℝ^Nの変数である. 例えば, fを非斉次項または非線型項として, 熱方程式 ∂u/∂t−△u＝f, シ…
δ(x)＝0 (x≠0), δ(0)＝∞, ∫_R δ(x)dx＝1 を満たす関数δは存在しない. ただ近似的にそのような関数を作ることはできる. しかしいずれも反則的な項別積分をしなければならない.仮にそのような関数δが存在するとして,∫_R δ(x)φ(x)dx＝φ(0)に着目し, 積分の線型…
私は小学生の頃, ２つの図形を合わせて作られる図形の面積や体積は, それぞれの図形のそれぞれの面積や体積の合計だと習った.例えば, ２つの三角形でそれぞれの或る１辺が等しい物たちを, その辺を合わせて合体させると, 多角形ができるが, その多角形の面積…
もし関数解析をご存知でなければ, バナッハ空間は有限次元線型空間, Xの双対空間はXからRへの線型写像(例えば固定したベクトルaに対して内積を用いて定まる写像X∋x→(a, x)∈Rなど)の成す空間, ヒルベルト空間は有限次元線型空間, Tの共役作用素はTの随伴変換…
「新訂版 数理解析学概論」(https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では, 試験関数の成す線型位相空間D(Ω)を(D_K)(Ω)＝D(K)の帰納的極限として定義している. そうするとD(Ω)が集合と…
陰関数定理の本質は, ((x, y), z)-空間における２変数関数z＝f(x, y)の零点の集合(これは(x, y)-空間の曲線や曲面など, 超曲面)が局所的に関数のグラフとなる, すなわち或る点の或る近傍でy(またはx)について解けるためにはその点でのfのy(またはx)について…
Xを集合, μ*をXの冪集合における外測度とするときA, B⊆Xに対してμ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A)が, Aがμ*-可測で測度有限かつA⊆Bなら(Bがμ*-可測でなくとも)成り立つのではないか？と考えたが, 証明ができた.実際, 結論から言うと, 北田均「新訂版 数理解析学概論」3…
位相空間M上の加法群の層とは, 位相空間Sと写像π:S→Mから成る組(S, π, M)または単にSで,πは局所位相同型写像であり各点p∈Mに対しS_p＝(π^(−1))(p)⊆Sは加法群であり,加法はSの位相に関して或る意味で連続であるを満たす物である. ここで, πが局所位相同型写像…
数学では, 話者や読者の論理に高い厳密性が問われる. しかし, 数学において, 話者または読者の少なくとも一方がそれを破り, 表現を見やすく伝わりやすくすることがある. 例えば https://pdem.hatenadiary.com/entry/2020/10/10/115841 でも私がしたように, …
よく, 一般人向けに素数とは1と自分自身以外で割り切れない数字や,偶数とは2で割り切れる数字奇数とは2で割り切れない数字という表現がされていることがある. しかしこれらは誤りである.数は概念である. 名前はまだない. そこで「0」「1」「2」「3」…など名…
まず, 0^0が普通の意味では定められないことの説明として, ２変数関数f(x, y)＝x^yが(x, y)＝(0, 0)で不連続であることを挙げることがある. 確かに実際,lim_(x→0, y→0)0^y＝0lim_(x→0, y→0)x^0＝1となり, lim_(x→0, y→0)f(x, y)は存在しない. ゆえにf(0, 0)…
多くの本では既知または行間としている. 急減少関数の典型例:exp(−|x|^2) 注意:exp(−|x|)は急減少関数ではない. 急減少関数について詳しくはこちらを参照されたい:https://pdem.hatenadiary.com/entry/2020/12/25/170131
(t, θ)＝(0, 0)の近傍でsinθ〜θと近似すればθ(t)＝asin(t) (aは任意定数)が近似解となることからわかるように, この方程式にはθ(0)＝0, θ'(0)＝1を満たす解θが存在することが予想される. それを, 常微分方程式の解の一意存在定理である, コーシー-リプシッツ…
(先日, Amazonではレビューへのコメントの機能が廃止された. はてなブログでは二重以上の括弧は脚注になるので多少記号を変えた. また細部の表現を改めたが殆んど変更はない. 元々パソコンで書いた物であり, 多少見にくいかもしれないが, ご容赦いただきたい…
今日を最後にAmazonレビューのコメント機能が廃止されるので一部を書き換えた上で転記： 超関数Eと台がコンパクトな超関数fの合成積 E＊f∈Ｄ' は任意のφ∈Ｄに対して〈E＊f, φ〉＝〈E(x),〈f(y), φ(x＋y)〉〉により定義されている.〈f(y), φ(x＋y)〉がxの関数…
ここでは, 数学のミレニアム懸賞問題のうち３つを解説する. リーマン予想 これは解析接続されたリーマンゼータ関数についての予想である. 解析接続とは簡単に言うと, 複素変数の関数としての微分可能性を保ちながら定義域を拡大することである. 実変数の関数…
厳密な定義より直観的なわかりやすさを優先したので多少論理に無理がある箇所があるのは許していただきたいが, 超関数(distribution)を連続線型汎関数と定義する理由をデルタ関数を用いて説明した. 超関数はデルタ関数とそれに関する演算の厳密化が発端なの…
2016年1月31日に偏微分方程式の一意的な解を構成する方法を予想した.全てのヒルベルト空間Hの双対空間H*はリースの表現定理によりHと線型同型かつ距離同型ゆえにH*＝Hと見なしている上に, Hとしてソボレフ空間を選べばH*は超関数の空間である(後述)から,与え…
ベゾフ空間と斉次ベゾフ空間に加法群の準同型定理を当てはめることができた。準同型定理により同型と言える。これで斉次ベゾフ空間を定義したら何が起こるんだろう。ベゾフ空間の理論を代数的に観たら何が分かるんだろう。ベゾフ空間は指数を自由自在に調整…
具体例と測度や積分および行間について補足すべく作った, 内容をより良く理解するための自作演習問題. ハール測度とルベーグ測度のハール測度としての性質も意識した(知り合いの数理物理学者がハール測度の理解のためも読んでいるので) 1. ユークリッド空間…
和書では数が少ない偏微分方程式「論」の本である. (私も含めて)難解という方も多いけれど, 話の流れとしては入門書である.様々な偏微分方程式の可解性の理論(解の存在・一意性・連続性や微分可能性・初期値の連続的な変動に対する解の変動の連続性・境界値…
