分配法則から広がる「負×負＝正」の話

小学生に分配法則がなぜ成り立つのか直観的に教えた時の写真が見つかったのと, 最近Twitterで「負×負＝正」について話題になっていて, 言いたいことがあるのでそれを書く. 以下では厳密に数を定義する話は省略しているため, 完全に厳密な証明, そして一般論に従った証明はしない. その代わり直観的なわかりやすさを重視する. しかし正当化は厳密に数を定義すれば(それが一般人には難しいだろうけど)容易である.

まず, 負の数と負の数を掛けたら正の数になることを証明するには, 既成の数学では, これから説明するように, 0に負の数を掛けても0になることが言えないといけない. しかし実はこれは初等教育では検定教科書や学習参考書を含めて誰も教えてくれない. せいぜい「正の分数と0を掛けたら0になる」「0と0を掛けたら0になる」ことしかわかっていない. 突き詰めて言うと, 負の数と0の掛け算すら定義されていない. 小学校までは, 正の分数の四則演算と, これらのことしかわかっていない. それでも中学校ではいきなり負の数と0の掛け算が前置きもなく現れる. しかしここでは, 話を簡単にするため, 厳密な理論で正当化される「負の数と0の掛け算」は定まっている物と仮定する. また, 負の数と負の数を掛けたら正の数になることを示すには, (−1)×(−1)＝1だけ示せればいいと言う人も少なくないが, そのためには, 正の数a, bに対して

(−1)a＝−a

{(−1)×(−1)}(a×b)＝(−a)×(−b)

が言えなければならない. 上の式の左辺はaの(−1)倍であり, 右辺はa＋(−a)＝0を満たす数(−a)である. つまりマイナスについて, 左辺はaの(−1)倍として, 右辺はaの符号を反転させる物として, 左辺と右辺で定義が違うのである. (ベクトル空間の言葉で厳密に言うと, 左辺はベクトルaのスカラー(−1)倍, 右辺はベクトルaの逆ベクトルである. ) 左辺と右辺で異なるマイナスを同じaに作用させたら同じ結果になることは明らかではないし, ここで数学がわからなくなった(元)中学生もいるのではないか. しかしこれの証明は話が脱線するのでとりあえず後回しにする. 下の式は, 負の数と正の数が混在していても, 上の式が成り立つと仮定したら, 交換法則と結合法則が成り立つことに含まれているが, それも明らかではない. しかし厳密には数(より正確に言うと実数)とは正負に関係なく交換法則と結合法則を含むいくつかの性質(公理系)を満たす物として定義されるので(そのように定義しても他の定義と同等), これも証明なしに認めることにする.

0に負の数を掛けたら0になることを証明しよう. aを正の数とする.

0×(−a)＝0×(−a)＋0×a (0×正の数＝0より)

＝0×{(−a)＋a)} (分配法則より)

＝0×0 (−aの定義より)

＝0 (0に0を掛けたら0になるのは既知)

ゆえに最左辺と最右辺より0×(−a)＝0となる. (初等教育に沿った記事なので, あえて環論でよくある証明は書かなかった. )

これを用いて(−a)×(−b)＝a×bを証明しよう.

{(−a)×(−b)}−(a×b) (左辺−右辺＝0を示したい)

＝{(−a)×(−b)}＋(−1)(a×b) (「上の式」より)

＝{(−a)×(−b)}＋{(−a)×b} (「上の式」より)

＝(−a)×{(−b)＋b} (分配法則)

＝(−a)×0 (−bの定義より)

＝0 (先程示した等式より)

ゆえに最左辺と最右辺より

{(−a)×(−b)}−(a×b)＝0

だから(−a)×(−b)＝a×bとなる.

そして, 保留しておいた「上の式」を示そう. aを正の数とする.

(−1)a＋a (足すと0になることを言いたい)

＝(−1)a＋1a (厳密には1の定義式1a＝aより)

＝{(−1)＋1)}a (分配法則より)

＝0a

＝0

ゆえに最左辺と最右辺より(−1)a＋a＝0, だから

(−1)a＝−a

が言えた.

以上は, 自然数を厳密に定義し, そこから整数, 有理数, 実数を順々に構成するか, 実数を公理系により定義すれば正当化されるが, 直観的にはもう明らかであろう.

なお, 負の数と負の数を掛けたら正の数になることを示すには

−(−a)＝a

が示せればいいと言う人もいるが, これはaの逆ベクトルの逆ベクトルはもとのaという意味であり, つまり掛け算の話ではなく, 符号の反転の反転はもとに戻るという話だから, 根本的に意味が違う.

数学は誰でもわかる物ではない. 初等教育では色々と不充分である. これからも気が向いたら初等教育と専門の数学の間の断崖絶壁に階段を掛けてゆきたい.

算数の疑問と測度論

私は小学生の頃, ２つの図形を合わせて作られる図形の面積や体積は, それぞれの図形のそれぞれの面積や体積の合計だと習った.

例えば, ２つの三角形でそれぞれの或る１辺が等しい物たちを, その辺を合わせて合体させると, 多角形ができるが, その多角形の面積は, それぞれの三角形の面積の合計であり,

２つの直方体でそれぞれの或る１つの面が等しい物たちを, その面を合わせて合体させると, 新たな直方体ができるが, その直方体の体積は, それぞれの直方体の体積の合計であると.

より具体的に言うと, 形が同じで裏表が逆の２つの三角形を, どれかの辺を重ね合わせて平行四辺形を作ると, その平行四辺形の面積は, それぞれの三角形の面積の合計になる.

また, 形が同じ直方体を, どれかの面を重ね合わせて新たな直方体を作ると, その体積はそれぞれの合計になる.

しかし, 小学生時代, 中学生時代の私は, ここで疑問を持った.

「重なり合う部分の面積や体積は考えなくていいのか？」「それが0だと厳密に証明できないか？」

つまり, 図形A, Bの合体をA∪Bとし, 共通部分(いわば「重なり合う部分」)をA∩B, 一般に図形Sの面積または体積(Sが平面図形なら面積, 空間図形なら体積)をμ(S)とする時,

μ(A∪B)＝μ(A)＋μ(B)

ではなく,

μ(A∪B)＝μ(A)＋μ(B)−μ(A∩B)

(重なり合う部分を二重に足しているから)

が成り立つのではないかと, 私は考えたのだ. そして長い年月が経ち, 測度論を学んで, それは正しかったのだと本でわかった. (補足:図形は平面や空間の中の点の集合である. )

測度論の立場からは, 

μ(A∩B)＝0

であることがわかる. しかしこのことは自明ではない割には誰も教えてくれない気がする.

測度論では, 一般に

AとBが交わらない ⇒ μ(A∪B)＝μ(A)＋μ(B)

は確かに成り立つことであると認めて話を進めるが,

μ(A∩B)＝0 ⇒ μ(A∪B)＝μ(A)＋μ(B)

は暗黙の了解としている. (AとBが交わらないならμ(A∩B)＝0だが, μ(A∩B)＝0でもAとBが交わることが有り得る. A∩Bがすぐ後述の場合または１点から成る場合. )

μ(S)として, 例えば面積や体積を一般化したルベーグ測度を考えれば, 上に書いた具体例で

μ(A∩B)＝0

が成り立つことは定義から簡単に導かれる(被覆をする区間の１つが任意に小さくできるからA∩Bは零集合になる)が, 私はこのあたりに昔から引っかかっていた.

つまり, 2次元空間すなわち平面の中の, 線分, すなわち1次元の図形は, いくらでも細い長方形に含まれるから, 面積がゼロなのである.

また, 3次元空間すなわち常識的な意味での空間の中の, 面, すなわち2次元の図形は, いくらでも薄い直方体に含まれるから, 体積がゼロなのである.

これらには実数の稠密性からの或る帰結:

「実数a≧0が任意の正の実数εに対して

a＜ε

ならばa＝0である」

が背景にある.

もしかしたら同じ思いをする人がいるかもしれないので書いた次第である.

共役作用素のグラフに関する命題について (加筆•訂正済み)

もし関数解析をご存知でなければ, バナッハ空間は有限次元線型空間, Xの双対空間はXからRへの線型写像(例えば固定したベクトルaに対して内積を用いて定まる写像X∋x→(a, x)∈Rなど)の成す空間, ヒルベルト空間は有限次元線型空間, Tの共役作用素はTの随伴変換と読み替えていただきたい. 有限次元線型空間は計量線型空間である. これは各ベクトルを基底の元の成分による線型結合として書いて成分の成す数ベクトルの内積を考えればよい.

参考文献

齋藤「線型代数入門」

谷島「新版 ルベーグ積分と関数解析」

宮寺「関数解析」

梶原「複素関数論」

数学の思い出

2005年, 小6の時, 私には初恋にして両想いの人がいた. 彼女とは席替えで隣同士になった. 生きるのが楽しかった. 或る日, 直方体の体積を求める問題を解いたら, 掛け算の順序を訂正された. 彼女は中学受験をする人だったから塾などで順序についてこだわった教育を受けたのだろう. しかし, 直方体の縦•横•高さは向きを変えれば変わるのでそのようなこだわりは意味がないのではなかろうか. ちなみに彼女とは今はもう何も話せない. 小学校を卒業してから私は精神的に病み始めた.

中学生になって, 数学を学んでいくうちに疑問が沸々と浮かんできた. なぜ基礎や初歩が論理的に曖昧なまま厳密化せずに問題を解いてばかりなのか. 問題もいわゆる文章題は, 数学を使った問題とは言えても, 数学その物の問題ではないだろう. みかんがx個, 池の周りをグルグル, 点Pがどうのこうの, そんなのは数学ではないはずだ. 例えば「数」とは何か, なぜ負の数に負号がつくと正の数になるのか, なぜ負の数と負の数を掛けると正の数になるのか, 0とは何か, なぜ0に何を掛けても0なのか,「図形」とは何か, 突き詰めて言うと「1」「＋」「＝」「2」「1＋1＝2」とは何か, そういうことを私は知りたかった. また, √2が2乗すると2になる正の数なら, √2とは2の1/2乗ではないのかと気づいた. そして√2の√2乗がどんな数か知りたかった. しかしこれらは誰も教えてくれなかった. ゆえに私は中学生ながらも高校や大学の数学を独学し始めた. 2007年11月のことである. 幸い図書室には良い数学の本が何冊もあった. 最初は式の展開と因数分解からである.

純粋に数学に感動し始めたのもこの辺りからである. いわゆる連立方程式で未知数は２つあるのに解は存在すれば１組に定まること, いわゆる二次方程式で2乗の項があるにもかかわらず解が求まることに感動した.

数学を独学していくうちに, 微分積分に感動した. 微分法を使って増減表を書いてグラフが描けたり, 分数関数1/xの原始関数が対数関数を用いてlog(x)＋Cと表されたり, マクローリン展開で関数を「無限次の多項式」で表せたりすることに, 中学生時代の私は感動した. そして, オイラーの公式, 特にe^(iπ)＝−1に大興奮したのである. 私のうわさを聞いた先輩が微分積分の簡単な本を貸してくれたりもした.

高校生になって, 簡単な微分積分や線型代数や複素関数の本をよく読んでいた. 病気で留年した後の2010年には石原-矢野両氏の「解析学概論」, 高木氏の「解析概論」, 杉浦氏の「解析入門」, 新井氏の「ルベーグ積分講義」, 猪狩氏の「実解析入門」にのめり込み, 解析学にハマっていった. この時からルベーグ積分については何冊も読むようになり, ルベーグ積分オタクになってゆく. 夏には冷房の効いた部屋に引きこもってひたすらルベーグ積分を学んでいた.

高校は病気により休学と留年をした. 留年後は同級生からの嫌がらせもあり, 四年制の入りやすく通いやすい高校に転校する話もあったが, 高校卒業の資格が手に入るのが遅れるのを理由に2011年1月に予備校に転学した. その頃から実解析にハマっていく. 同年11月に高卒認定試験を受験した東工大の教室にはベッセルの不等式がうっすらと書かれてあったのを見た.

2012年頃, 超関数という概念に感動し, わからない所を教えてもらおうとしたが, リアルでもネットでもどこでも教えてくれる人はいなかった.「大人の数学教室」なる物も頼りなかった. 結局自分で学び考えた.

この頃からAmazonにレビューを書き始めた. 理由はあるが, 有名人になるためではなかった. しかし結果として多数の本にレビューを書いたこと,「数理解析学概論」を熱心に読んだレビューを書いたのを著者の北田先生がご覧になり新訂版序文に載ったことなどで有名人になった. 新訂版序文の人になった時(2016年12月29日)は大興奮して, 当時大好きだった女の子にメッセージを送りまくった. ちなみにそれが原因ではないが, 彼女からは恋愛対象から外された.

年は明確に覚えてないが, 関数解析, 偏微分方程式, 代数学, 幾何学, 圏論, 多変数複素解析などにも手を出し, 超関数を用いて偏微分方程式の研究をした. 代数学は松坂氏の「代数系入門」から, 幾何学は松本氏の「多様体の基礎」から始めた. 有限次元と無限次元の違いや類似, 台がコンパクトな超関数, 準同型定理, 微分幾何の接続の概念, 圏論の考え方, ヘルマンダーの方法に感動した.

しかし20代後半(2018年頃)になってから集中力や気力が低下し脳が疲れやすくなった. 長文を書く気力もなくなった. そんなもどかしさを抱えながらも今もあらゆる数学をしている. しかし数学基礎論は序論だけ, 代数幾何は序論すらよくわからないままである. いつかは理解したい.

新訂版における超関数の定義について

「新訂版 数理解析学概論」(https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では, 試験関数の成す線型位相空間D(Ω)を(D_K)(Ω)＝D(K)の帰納的極限として定義している. そうするとD(Ω)が集合としては(C^∞)_0(Ω)に一致することは自明ではない. 正確な証明ではないが,「直観的な証明」を掲げておく. 一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.

(Amazonに掲載できなくなったので移動)

小学校の掛け算の順序問題

例えば「5×4＝20」が正解の途中式があるとして,「5が4個分ある」と「5の4倍」は同義であり, 量aの4倍は4×aなのだから「4×5＝20」と答えても「5の4倍」の意味なら正解にしてよくないか?

数学的には自然数全体の集合をNで書くとき

掛け算:N×N∋(b, c)→bc∈N

と,

b∈Nによるb倍:N∋x→bx∈N

はbが変数か定数かの違いしかない.

陰関数定理の本質

陰関数定理の本質は, ((x, y), z)-空間における２変数関数z＝f(x, y)の零点の集合(これは(x, y)-空間の曲線や曲面など, 超曲面)が局所的に関数のグラフとなる, すなわち或る点の或る近傍でy(またはx)について解けるためにはその点でのfのy(またはx)についての或る種の微分が0でないことが必要, ということである.

例えば, 実２変数実数値関数z＝f(x, y)のグラフが曲面であることは良く知られているが, このグラフがxy-平面と交わると, その交わりは曲線になり, xの関数またはyの関数で一部または全体を描くことができる.

実3変数実数値関数の零点の集合が曲面になるのは, 例えば

g(x, y, z)＝z−√[1−(x^2＋y^2)]

の零点全体の集合が球面になることから納得できるだろう.