「新訂版 数理解析学概論」(https://www.amazon.co.jp/dp/476870462X/ref=cm_sw_r_cp_api_glt_i_P7RK86VMMZSND9BBWJAP?_encoding=UTF8&psc=1)では, 試験関数の成す線型位相空間D(Ω)を(D_K)(Ω)＝D(K)の帰納的極限として定義している. そうするとD(Ω)が集合としては(C^∞)_0(Ω)に一致することは自明ではない. 正確な証明ではないが,「直観的な証明」を掲げておく. 一般には直和という仮定は普遍射の存在証明に使われる.
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例えば「5×4＝20」が正解の途中式があるとして,「5が4個分ある」と「5の4倍」は同義であり, 量aの4倍は4×aなのだから「4×5＝20」と答えても「5の4倍」の意味なら正解にしてよくないか?
数学的には自然数全体の集合をNで書くとき
掛け算:N×N∋(b, c)→bc∈N
と,
b∈Nによるb倍:N∋x→bx∈N
はbが変数か定数かの違いしかない.
陰関数定理の本質は, ((x, y), z)-空間における２変数関数z＝f(x, y)の零点の集合(これは(x, y)-空間の曲線や曲面など, 超曲面)が局所的に関数のグラフとなる, すなわち或る点の或る近傍でy(またはx)について解けるためにはその点でのfのy(またはx)についての或る種の微分が0でないことが必要, ということである.
例えば, 実２変数実数値関数z＝f(x, y)のグラフが曲面であることは良く知られているが, このグラフがxy-平面と交わると, その交わりは曲線になり, xの関数またはyの関数で一部または全体を描くことができる.
実3変数実数値関数の零点の集合が曲面になるのは, 例えば
g(x, y, z)＝z−√[1−(x^2＋y^2)]
の零点全体の集合が球面になることから納得できるだろう.
ベクトル場Xの点pにおける指数の定義式
γ_p(X)＝(1/2π)∫_C dθ
は複素解析における留数の定義式
Res(f, a)＝(1/2πi)∫_C f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理
Σ_i γ_(p_i)(X)＝χ(S)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz＝2πi Σ_i Res(f, a_i)
に良く似ていると感じた.
曲面Mの点pの近傍で定義されたベクトル場Xの点pにおける指数の別の定義式
(γ_p)(X)
＝(1/2π)lim_(Γ→p)∫_Γ g(dξ, ξ^⊥)
も複素解析における留数の定義式
Res(f, a)＝(1/2πi)∫_Γ f(z)dz
に, オイラー-ポアンカレの定理(定理4.8.3)
Σ_i γ_(p_i)(X)＝χ(M)
は留数定理の式
∫_γ f(z)dz＝2πi Σ_i Res(f, a_i)
によく似ていると感じた.
参考文献:
Xを集合, μ*をXの冪集合における外測度とするときA, B⊆Xに対して
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A)
が, Aがμ*-可測で測度有限かつA⊆Bなら(Bがμ*-可測でなくとも)成り立つのではないか？と考えたが, 証明ができた.
実際, 結論から言うと, 北田均「新訂版 数理解析学概論」383ページ目や, 谷島賢二「新版 ルベーグ積分と関数解析」67ページ目と96ページ目で暗黙の了解でこれを用いていると考えられる記述がある.
[証明]
Aがμ*-可測であるから∀C⊆X,
μ*(C)＝μ*(C∩A)＋μ*(C＼A).
C＝Bとし, A⊆BならばB∩A＝Aであることを使うと
μ*(B)＝μ*(A)＋μ*(B＼A)
よってAがμ*-可測で測度有限ならば両辺からμ*(A)を引いて
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A).
これはどんな本にも書かれていないが, これに気づくことができた. 簡単なことだが, 自明ではない.
[別証] (6行目からは或る人からの指摘による)
μ*の劣加法性より,
μ*((B＼A)∪A)≦μ*(B＼A)＋μ*(A)
(直観的には, 一般にB＼Aの被覆とAの被覆は交わるから)
すなわち
μ*(B＼A)≧μ*(B)−μ*(A) (1)
ところで, μ*の劣加法性より, Aがμ*-可測であることは
∀C⊆X, μ*(C)≧μ*(C∩A)＋μ*(C＼A)
と同値である. ここでC＝Bとすると
μ*(B＼A)≦μ*(B)−μ*(A) (2)
「(1)かつ(2)」が成り立つから
μ*(B＼A)＝μ*(B)−μ*(A).
平易に言うと, 図形Aが図形Bに含まれるとき, 図形Bから図形Aを取り除いた図形の大きさはBの大きさからAの大きさを引いた物である, ということである.
順序集合と体の定義と
発想は前々からあったが, きちんと